Задачи на составление уравнений и систем
уравнений
- В комнате стояли стулья (с четырьмя ножками) и
табуреты (с тремя ножками). Когда на каждый стул и каждый табурет село по
одному школьнику, то общее число «ног» в комнате составило 39. сколько
стульев и сколько табуретов стояло в комнате?
- Два года назад Вася был в два раза моложе своего
брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет
братьям сейчас?
- В детском игровом наборе имеются шарики, кубики,
пирамидки и цилиндрики. Известно, что цилиндрик весит столько же, сколько
весят шарик и кубик вместе, а три пирамидки - столько же, сколько два
цилиндрика. Кроме того, шарик весит столько же, сколько весит кубик и
пирамидка вместе. На правую чашку чашечных весов положили шарик. Сколько кубиков
нужно положить на левую чашку, чтобы весы находились в равновесии?
- Теннисист Вася подсчитывает процент выигранных им
матчей от числа всех матчей, которые он сыграл. Перед последним турниром,
на котором Вася выиграл все матчи, этот процент был равен 25%, а после
турнира он стал равняться 75%. Определите, во сколько раз число сыгранных
Васей на последнем турнире матчей больше числа матчей , сыгранных
(выигранных и проигранных) им до этого турнира.
- Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало
следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2
дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1
оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё
остаются патроны). Сколько раз Вася точно поразил мишень, если вначале он
на все свои деньги купил 10 патронов, выстрелить же ему удалось 20 раз,
причём последний оставшийся у него патрон Вася из-за промаха вынужден был
отдать?
- Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало
следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2
дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1
оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё
остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил патроны. Сколько
раз Вася точно поразил мишень, если в конце стрельбы выяснилось, что купил
он столько же патронов, сколько раз точно поразил мишень, а выстрелить ему
удалось 20 раз?
- Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало
следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2
дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1
оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё
остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил 10 патронов.
Он точно не помнит, но уверен, что всего он выстрелил то ли 15, то ли 16
раз. Определите, сколько раз выстрелил Вася и сколько раз он попал в
мишень.
- Знайка, Незнайка и Торопыжка собирали яблоки в
общественном саду. Известно, что число яблок, собранных Знайкой, в 2 раза
меньше числа всех яблок, собранных Незнайкой и Торопыжкой вместе, а число
яблок, собранных Незнайкой, в 3 раза меньше числа всех яблок, собранных
Знайкой и Торопыжкой вместе. Кто из них собрал больше всех яблок, а кто –
меньше всех?
- Каждый из учеников пятого класса некоторой школы
всем остальным сортам шоколадных батончиков предпочитает один из следующих
сортов: «Марс», «Сникерс» или «Баунти». Причём число учеников,
предпочитающих шоколадные батончики «Марс», равно числу учеников,
предпочитающих шоколадные батончики «Сникерс», и на одного больше числа
учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Баунти». Из числа учеников,
предпочитающих «Марс», ровно половина отдаёт предпочтение «Сникерсу» перед
«Баунти», а из числа учеников, предпочитающих «Сникерс», вчетверо больше
отдают предпочтение «Баунти» перед «Марсом». Сколько учеников в классе,
если известно, что число учеников, предпочитающих «Сникерс», но отдающих
предпочтение «Марсу» перед «Баунти», не более трёх?
- В хозяйственном магазине продаются два типа
«Набора для новосёлов». В один набор, который стоит 2700 рублей, входит 10
гвоздей, 20 шурупов и 30 дюбелей, а в другой, который стоит 4800 рублей, -
20 гвоздей, 30 шурупов и 50 дюбелей. Гвозди, шурупы и дюбели в этих
наборах одинаковые. Может ли продавец узнать, на сколько дороже или
дешевле гвоздь шурупа? Может ли продавец узнать стоимость в отдельности
гвоздя, шурупа и дюбеля?
- Для нумерации страниц в книге понадобилось 1000
цифр. Сколько страниц в книге, если нумерация начинается с третьей страницы,
которая нумеруется цифрой 3?
- Найдите два различных прямоугольника, таких, что
периметр первого численно равен площади второго, а периметр второго
численно равен площади первого. Укажите размеры найденных вами
прямоугольников.
- Подводя итоги контрольной работы по математике в
классе, учительница отметила, что 15 школьников написали её на «4» или на
«5», а число школьников, написавших контрольную на «3», на 5 больше числа
школьников, написавших её на «4». Сколько школьников присутствовало на
контрольной работе, если известно, что общая сумма полученных ими оценок
равна 100? (Возможны оценки: 2, 3, 4 и 5.)
- В трёхзначном числе цифру сотен увеличили на 3,
цифру десятков – на 2, а цифру единиц – на 1. В результате получилось
новое трёхзначное число, в четыре раза больше исходного. Каким было
исходное число?
- Для наполнения бассейна используют несколько
одинаковых труб. Если бы таких труб было в 2 раза больше, то бассейн можно
было бы наполнить на 5 часов раньше, а если бы таких труб было больше на
2, то бассейн можно было бы наполнить за 6 часов. Сколько труб используют
для наполнения бассейна?
- Каждый ученик класса либо правдивый, то есть
всегда говорит правду, либо лжец, то есть всегда лжёт. При этом лжецы есть
двух типов: беззастенчивые и застенчивые. Беззастенчивые лжецы, отвечая на
какой-либо вопрос, врут, не моргнув, а застенчивые лжецы лгут и при этом
всякий раз моргают. Каждый правдивый же, отвечая на вопросы, говорит
правду, при этом моргает строго через раз. Однажды учитель задал ученикам
подряд два вопроса. Отвечая на вопрос: «Являешься ли ты застенчивым
лжецом?», 9 учеников класса моргнули, причём 17 ответов были «нет». А
отвечая на вопрос: Являешься ли ты беззастенчивым лжецом?», 13 учеников
класса моргнули, причём 19 ответов были «нет». Сколько учеников в этом
классе?
- В олимпиаде по математике приняли участие
школьники 5 – 7 классов. Среди участников число девочек 5-х и 6-х классов
оказалось больше числа мальчиков 7 класса на число, равное числу членов
жюри; число девочек 6-х и 7-х классов оказалось меньше числа мальчиков
5-го класса на число, в полтора раза большее числа членов жюри; а число
девочек 5-х и 7-х классов – больше числа мальчиков 6-го класса на число, в
два раза меньшее числа членов жюри. Могло ли оказаться, что в олимпиаде
участвовало ровно 100 школьников?
- Во время проведения олимпиады по математике
каждому участнику были выданы 1 тетрадка, 1 ручка и 1 карандаш. Всего у
организаторов было 90 тетрадей, а количество карандашей было в два раза
больше, чем количество ручек. После окончания олимпиады выяснилось, что число
не розданных ручек в два раза меньше числа не розданных тетрадей и в три
раза меньше числа не розданных карандашей. Сколько школьников участвовало
в олимпиаде?
Решение и ответы можно посмотреть здесь.