Принцип Дирихле
- В городской олимпиаде по математике приняли
участие 120 пятиклассников. Каждому из участников было предложено для
решения 5 задач. После проверки работ выяснилось, что 1/3 всех участников
решила ровно по одной задаче, ¼ всех участников решила ровно по две
задачи, и 1/5 всех участников решила ровно по 3 задачи. Общее число
решённых задач оказалось равным 277. Определите, был ли такой участник
олимпиады, который решил все 5 задач, если известно, что каждый участник
решил целое число задач.
- Какое наибольшее число десятизначных чисел, в
десятичной записи каждого из которых участвуют все 10 цифр, можно
записать, так, чтобы никакие два из записанных чисел не совпадали ни в
одном разряде?
- Четыре разбойника делят добычу, состоящую из
нескольких золотых слитков (слитки не обязательно имеют все одинаковый
вес). Сперва они разделили добычу на 4 части одинакового веса. Затем,
вспомнив, что они забыли о своём главаре, снова разделили добычу – теперь
уже на 5 частей одинакового веса. В процессе делёжек разбойники обошлись
без распиливания слитков. Из какого наименьшего числа слитков могла
состоять добыча? Приведите пример с наименьшим возможным числом слитков и
докажите, что ещё меньшего числа быть не может.
- Дана куча камней (веса камней не обязательно равные).
Известно, что все камни этой кучи можно разложить как на 3 равные по весу
кучи, так и на 4 равные по весу кучки (кучка может состоять и из одного
камня). Какое наименьшее число камней может быть в такой куче?
- Дана куча камней (веса камней не обязательно
равные). Известно, что все камни этой кучи можно разложить как на 5 равных
по весу кучек, так и на 6 равных по весу кучек (кучка может состоять и из
одного камня). Какое наименьшее число камней может быть в такой куче?
- Из клетчатой бумаги, клетки которой – квадраты 1
х 1, вырезали 150 прямоугольников, площадь каждого из которых не более 21.
Все разрезы проводились только по сторонам клеток. Докажите, что среди
полученных прямоугольников имеется не более 5 одинаковых.
- Какое
наибольшее число раз семеро семиклассников могут сесть за круглый стол
так, чтобы никакие два человека не сидели рядом более одного раза?
- Квадрат двумя вертикальными и двумя горизонтальными прямыми разбили на девять прямоугольников, как показано на рисунке. Может ли среди этих прямоугольников быть ровно 4 квадрата? (смотри рисунок 1)
- Квадрат тремя вертикальными и двумя
горизонтальными прямыми разбили на 12 прямоугольников. Может ли среди этих
12 прямоугольников быть ровно 7 квадратов?
- В мешке лежат 10 красно-синих (т.е. одна
половинка у них красная, а другая – синяя), 7 сине-зелёных и 5
зелёно-красных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть (не
глядя), чтобы утверждать, что найдётся такой цвет, который присутствует в
окраске не менее чем 5 вынутых шаров?
- В мешке лежат 10 красно-синих (т.е. одна
половинка у них красная, а другая – синяя), 7 сине-зелёных и 5
зелёно-красных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть (не
глядя), чтобы утверждать, что найдётся такой цвет, который присутствует в
окраске не менее чем 6 вынутых шаров?
- Если натуральное число имеет не менее 3-х
разрядов, то фрагментом этого числа назовём любое число, образованное
тремя подряд идущими цифрами. Например, фрагментами числа 14314377 будут
ровно 6 чисел: 143, 431, 314, 143, 437 и 377, из которых пять различных.
Из цифр 1, 2, 3 и 4, используя каждую по нескольку раз, записали число, в
любом фрагменте которого все цифры разные и любые его 2 фрагмента
различны. Какое наибольшее число разрядов может иметь такое число?
Запишите одно из этих чисел.
 |
| рисунок 1 |
Ответы и решение можно посмотреть здесь.