Расстановки чисел

Расстановки чисел
1

9



9

5
1.     В угловых клетках квадрата  клеточки записаны числа 1, 9, 9, 5 так, как показано на рисунке. Можно ли в пустые клетки вписать некоторые числа (в каждую клетку – одно число), так, чтобы сумма чисел во всех четырёх угловых квадратах  была одна и та же?
2.     Из книги выпал кусок, состоящий из подряд идущих листов. Оказалось, что номера первой и последней его страниц – трёхзначные числа, в записи каждого из которых участвуют цифры 1, 3 и 4. Сколько страниц содержит выпавший кусок?
3.     Окружность восемью точками разделена на восемь равных частей. Можно ли каждую из этих точек пометить каким либо натуральным числом, меньшим 22 ( разные точки – разными числами), так, что какой бы равнобедренный треугольник с вершинами в этих точках ни взять, сумма трёх чисел, которыми помечены его вершины, делилась бы на 3?
4.     Из цифр 1, 2, 3, …, 7, 8 разными способами можно составить два четырёхзначных числа, используя каждую цифру ровно по одному разу, а затем найти разность между большим и меньшим из полученных чисел (например, 3587 – 1246). Какое наибольшее и какое наименьшее значения может принимать такая разность?
5.     Можно ли в клетки квадратной таблицы  клеточек вписать числа от 1 до 25 (в каждую клеточку – одно число) так, чтобы сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и вдоль каждой из двух диагоналей была: а) чётной; б) нечётной?
6.     Пятиклассник Вася, внимательно изучая сборник олимпиадных задач по математике, с удивлением обнаружил, что для любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 количество страниц в сборнике, номер которых содержит эту цифру (хотя бы раз), одно и то же. Сколько страниц могло быть в этом сборнике, если известно, что в нём двузначное число страниц? (В любой книге число страниц кратно четырём).
7.     Найдите четырёхзначное число N, обладающее следующим свойством: какой бы разряд этого числа ни выбрать, среди чисел 1546, 3892, 3547, 6942 найдётся по крайней мере одно, совпадающее с числом N в этом разряде и не совпадающее с ним в остальных разрядах.
8.     Какое наибольшее число десятизначных чисел, в десятичной записи каждого из которых участвуют все 10 цифр, можно записать так, чтобы никакие два из записанных чисел не совпадали ни в одном разряде? (Разумеется, десятизначное число не может начинаться нулём.)
9.     Какое наименьшее число трёхзначных натуральных чисел нужно записать, чтобы какие бы две не равные цифры из цифр 1,2, 3, 4, 5, 6 ни выбрать, нашлось такое из записанных чисел, которое содержит эти две выбранные цифры?
10.                        Можно ли в клетках таблицы   расставить числа 0, 1, 2 (в каждой строке – одно число) так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах таблицы были попарно различны?
11.                        Расставьте цифры от 1 до 8 в вершинах куба так, чтобы суммы чисел на всех гранях куба равнялись одному и тому же числу. Какие значения может принимать это число?
12.                        Найдите наименьшее значение, которое может принимать сумма девяти трёхзначных чисел, любые два из которых различаются в каждом разряде.
13.                        Бумажная полоска разбита на 21 клетку. В первую клетку вписано число 17, а в последнюю – число 12. Впишите в каждую пустую клетку по числу так, чтобы сумма чисел, записанных в любых трёх подряд идущих клетках, равнялась 40.
14.                        Можно ли в клетки таблицы  вписать цифры от одного до 9 (в каждую клетку – одну цифру, и каждую цифру – ровно один раз) так, чтобы сумма цифр, записанных в каждом её квадрате , была кратна 10?
15.                        Можно ли в клетки таблицы  вписать числа от 1 до 16 (в каждую клетку – одно число, и каждое число – ровно один раз) так, чтобы произведения чисел, записанных в каждом её квадрате , были равны?
16.                        Можно ли в клетки таблицы  вписать числа от 2 до 10 (в каждую клетку – одно число, и каждое число – ровно один раз) так, чтобы произведения чисел, записанных в каждом квадрате , были равны?
17.                        Можно ли вписать в клетки квадрата  числа от 1 до 9 (в каждую клетку – одно число, и каждое число – ровно один раз) так, чтобы суммы чисел во всех сточках и столбцах были: а) нечётные; б) чётные?
18.                        Можно ли вписать в клетки квадрата  числа: а) от 1 до 25, б) от 0 до 24 (в каждую клетку – одно число, и каждое число – ровно один раз) так, чтобы суммы чисел во всех строчках и столбцах были нечётными?
19.                        Директор парка поручил смотрителю посадить вдоль одной стороны прямолинейной аллеи парке деревья трёх видов: берёзы, клёна и ольхи – всего 35 деревьев. Предпочитая в посадках пестроту, он дал указание смотрителю, чтобы среди любых трёх подряд растущих деревьев была бы хотя бы одна берёза, среди любых четырёх – хотя бы один клён, а среди любых пяти – хотя бы одна ольха. Смотритель же из всех деревьев больше всего любил клён. Какое наибольшее число клёнов сможет посадить смотритель и выполнить при этом указание директора?

20.                        Директор парка поручил смотрителю посадить вдоль одной стороны прямолинейной аллеи парке деревья трёх видов: берёзы, клёна и ольхи – всего 80 деревьев. Предпочитая в посадках пестроту, он дал указание смотрителю, чтобы среди любых трёх подряд растущих деревьев была бы хотя бы одна берёза, среди любых четырёх – хотя бы один клён, а среди любых пяти – хотя бы одна ольха. Смотритель же из всех деревьев больше всего любил берёзу. Какое наибольшее число берёз сможет посадить смотритель и выполнить при этом указание директора?

Решение и ответы можно посмотреть здесь.